O JOGO DA TORRE DE HANOI
O jogo consiste num tabuleiro com 3 a 5 pinos de madeira e um
conjunto de 6 discos de diâmetros diferentes, com uma perfuração no
centro. O desafio consiste em transferir os discos que devem estar,
inicialmente, em um dos pinos para qualquer um dos pinos livres. Vence o
jogo quem concluir o trabalho no menor número de movimentos possível,
movendo apenas um disco de cada vez e sem colocar um disco maior
sobre outro menor. (RÊGO, 2000).
O jogo da Torre de Hanói foi criado pelo matemático francês Edouard
Lucas, em 1883, e vendido como brinquedo.
Para criar o brinquedo, Lucas tomou como base uma antiga lenda
indiana. Segundo esta lenda, o centro do mundo encontra-se sob a cúpula
de um templo situado em Benares, na Índia. Sob a cúpula do templo havia
uma placa onde estavam fixados três pinos de diamantes. Num destes
pinos Brahma, ao criar o mundo, colocou sessenta e quatro discos de
tamanhos diferentes, um sobre o outro e em ordem decrescente, isto é, do
maior para o menor. Esta era a Torre de Brahma.
Junto a esta torre o criador colocou um grupo de monges cuja função
era mover os discos da haste original para as duas outras hastes,
trabalhando dia e noite. Mas para realizar esta tarefa eles deveriam
respeitar duas regras importantes: mover apenas um disco de cada vez;
nunca colocar um disco maior sobre outro menor.
Segundo esta lenda, antes que os monges consigam terminar esta
tarefa, o templo transformar-se-á em pó e então o mundo acabará, com o
estrondo de um grande trovão. (MACHADO 1992, p. 44).
Mas como poderemos relacionar o jogo da Torre de Hanói com o
9
estudo da função exponencial?
Alguns questionamentos podem ser levantados: Será que existe
alguma relação entre o número de discos e o número de jogadas? Será
que o número de jogadas está em função do número de discos? Como
poderemos concluir quanto tempo os monges levarão para mudar os 64
discos, segundo a lenda?
Antes de respondermos a todas estas questões vamos conhecer um
pouco mais sobre o conteúdo funções.
2.2 CONCEITO DE FUNÇÕES
As funções, como conteúdo da Matemática, tiveram vários conceitos
no decorrer dos tempos, mas nem sempre ligados à sala de aula. Na
Idade Média as noções de funções eram expressas de maneira geométrica
e mecânica prevalecendo, em cada caso concreto, as explicações e as
representações gráficas.
Na Idade Moderna, o aperfeiçoamento de instrumentos de medida
deu condições para que os matemáticos estudassem as funções utilizando
a experiência e a observação. Isto ajudou muito na evolução do conceito
de função. A partir daí iniciou-se o desenvolvimento do tratamento
quantitativo, das equações em x e y nas relações de dependência, das
noções de curva nos movimentos e fenômenos mecânicos, das taxas de
mudança de quantidade, das imagens geométricas e da linguagem
simbólica.
A partir do momento em que começou a acontecer uma
aproximação entre o conceito de função e a álgebra, esta teve uma maior
abrangência passando aos campos do cálculo diferencial e da análise
matemática, sendo fundamental para o desenvolvimento da teoria das
funções complexas.
O conteúdo funções marcou o início da modernização do ensino da
matemática. De 1880 a 1959 foi muito debatida a idéia de que o conceito
de função deveria fazer parte do currículo de matemática, pois poderia dar
mais dinamicidade ao seu ensino. (PARANÁ, 2006, pág. 38).
10
Atualmente as funções fazem parte de diversas áreas do
conhecimento e, através da resolução de problemas, auxiliam as pessoas
em suas atividades do cotidiano. Elas fazem parte também de outros
conteúdos específicos da Matemática. Segundo Longen (2004, pág. 70): “a
idéia de função é uma das mais importantes da Matemática, ocupando
lugar de destaque também em outras áreas do conhecimento”. Esta
afirmação se justifica pelo fato de que os fenômenos não acontecem de
forma isolada, mas estão interligados de modo que a ocorrência de um é
conseqüência do outro, isto é, um é função do outro.
Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y tal que o
conjunto de valores para x é determinado e a cada valor x está associado
um e somente um valor y.
Para definirmos o conceito de função utilizaremos Caraça (2005,
pág. 121): “sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de
números; diz-se que y é função de x e escreve-se y = f(x), se entre as
duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x y. A
x chama-se variável independente, a y variável dependente”.
Uma maneira de explicar melhor e facilitar o entendimento do
conceito de função é o uso de uma alegoria matemática, isto é, explicar a
função utilizando a metáfora da máquina. Segundo Grando (1995, pág.
126): “Assim, através da compreensão, pelo aluno, do funcionamento da
máquina, ele pode compreender o processo de transformação de x em
f(x), determinado por uma lei (função)”. A pesquisadora apresenta o
seguinte exemplo:
máquina: y = f(x) = x2 + 3
entra x Processo de Transformação sai y = f(x)
Elevar ao quadrado e somar 3
Outro aspecto importante no estudo das funções são os gráficos. Os
meios de comunicação, como jornais e revistas, utilizam – se muito dos
gráficos. Eles permitem às pessoas uma melhor visualização das
informações divulgadas, facilitando a interpretação dos resultados
11
apresentados. A importância dos gráficos no estudo das funções pode ser
justificada nas palavras a seguir: “O estudo das funções ganha relevância
na leitura e interpretação da linguagem gráfica que dá significado às
variáveis das grandezas envolvidas, e possibilita análise para prever
resultados”. (PARANÁ, 2006, pág. 38).
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem
muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na
Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química,
Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Também
são utilizadas na Matemática Financeira no estudo de taxas de juros e
aplicações financeiras.
O conceito de função exponencial, segundo Longen (2004, pág. 139)
é definido como sendo: “toda função f: R R tal que y = f(x) = a x em
que a é uma constante real e diferente de 1” . O que caracteriza uma
função exponencial é que a variável x está no expoente.
A função exponencial pode ser entendida como o inverso da função
logarítmica.
A seguir vamos ver alguns conceitos sobre indução finita que será
importante na comprovação de alguns resultados obtidos durante a
pesquisa.
2.3 A INDUÇÃO FINITA
Segundo Savioli (apud Gástev, apud Sominski 1996), indução
significa o raciocínio que vai do particular ao geral e desempenha papel
fundamental nas ciências experimentais. Apesar de o nome lembrar algo
empírico, a indução finita é considerada um método dedutivo.
Normalmente a indução finita é aplicada no estudo com números
naturais. Outra forma de apresentação da indução finita é através do
quinto axioma de Peano5 , como pode ser encontrado em Savioli (apud
Lima, 1999):
5 G. Penedo, Arithimetica Principia Nova Methodo Exposita, 1889.
12
“Considerando X C N. Se 1 E X e se o sucessor de todo elemento de X
ainda pertence a X, então X = N.”
O Teorema da Indução Finita também pode ser visto em forma de
propriedades, considerando os números naturais: N= {0,1,2,3,...}. Pode
ser enunciado como:
“Considere P(n) uma afirmação relativa a n ε N. Suponha que:
a) P(1) é verdadeira;
b) Para todo n ε N, o fato de P(n) ser verdadeira implica que P(n+1) é
verdadeira, onde n+1 é o sucessor de n.
Assim, P(n) é verdadeira para todo n ε N”.
A seguir serão apresentados e analisados os resultados obtidos com
a implementação da proposta de intervenção na escola.
2.4 RELATÓRIO DA IMPLEMENTAÇÃO DA PROPOSTA NAS ESCOLAS
Esta implementação foi realizada em duas escolas públicas, sendo
uma na cidade e a outra no campo. O objetivo é fazer uma comparação
entre as duas escolas, analisando o interesse e a participação dos alunos
em cada uma delas e o grau de dificuldades encontradas na solução dos
problemas apresentados.
Para a implementação desta proposta foram utilizadas como
suporte as intervenções realizadas por Grando (1995), Gonçalves (2007)
e Watanabe (2004), cujos estudos se aproximam pelo tema e pela
natureza dos objetivos.
Inicialmente a experiência foi realizada numa escola do campo, onde
a maioria dos alunos são filhos de agricultores e moram nas comunidades
próximas à escola.
Após a leitura de um texto que tratava sobre a lenda da Torre de
Brahma e de como surgiu o jogo da Torre de Hanói, foi apresentado aos
alunos um modelo do jogo e explicado o seu funcionamento. Então foi
solicitado a eles que confeccionassem o próprio jogo em casa e
trouxessem para a escola na aula seguinte.
13
No dia seguinte alguns alunos trouxeram o jogo montado. Então a
turma foi dividida em vários grupos para que os alunos pudessem ter
contato com o jogo. Em seguida foram explicadas as regras do jogo, ou
seja, de que forma deveriam ser mudados os discos de um dos pinos para
os outros dois pinos livres. Para isto deveriam obedecer as seguintes
regras: utilizar somente um disco de cada vez; nunca colocar um disco
maior sobre outro menor. Então cada grupo se organizou e iniciou o jogo.
Inicialmente os alunos passaram a mudar os discos aleatoriamente,
sem se preocuparem com a quantidade de movimentos.
Situação semelhante ocorreu na experiência realizada por Grando
(1995) em uma turma de 2a série de uma escola pública. A autora
comenta que na aplicação do jogo em sua turma, no início os alunos
também mudavam os discos aleatoriamente, sem se preocuparem com a
quantidade de movimentos realizados.
Esta etapa representa a fase de familiarização, na qual os alunos
passam a conhecer o jogo e dominar suas regras. É importante, portanto,
que o professor reserve um tempo da aula para que os alunos pratiquem o
jogo e despertem o interesse pelo mesmo.
Porém quando os alunos foram informados de que havia uma
quantidade mínima de movimentos para cada jogada, começaram a
analisar melhorar o jogo, criando estratégias para mudar os discos com
menor número de movimentos. Assim eles procuraram compreender o
jogo, não apenas pelas suas regras implícitas, mas também pelo seu
aspecto operatório, possibilitando uma reflexão sobre os movimentos
estabelecidos pelo jogo. Assim os alunos realizaram sem dificuldades a
movimentação com um, dois e três discos. Isto despertou o interesse pelo
jogo e eles até pediram para acrescentar mais discos.
Mas ao chegarem ao quarto e quinto discos as dificuldades foram
maiores, visto que aumentou consideravelmente o número de
movimentos. Seguindo uma lógica de movimentação, depois de várias
tentativas, conseguiram realizar a tarefa com êxito.
Gonçalves (2007) comenta, em sua experiência com a Torre de
Hanói, que seus alunos também tiveram dificuldades em realizar as
14
jogadas, a partir do terceiro disco.
Para realizar a mudança dos cinco discos, os alunos tiveram que
fazer os seguintes movimentos: com 1 disco m1 = 1 movimento; com 2
discos m2 = 3 movimentos; com 3 discos m3 = 7 movimentos; com 4
discos m4 = 15 movimentos; com 5 discos m5 = 31 movimentos.
Com estes movimentos os alunos puderam ter a idéia de como
deslocar n discos, com o menor número de movimentos possíveis.
Primeiramente movem-se n – 1 discos para o bastão de trás com mn-1
movimentos; na seqüência move-se o n-ésimo disco para o bastão da
frente, com 1 movimento. E, finalmente, movem-se os n – 1 discos do
bastão de trás para a frente, com mn-1 movimentos. Assim deduz-se que:
Mn = mn-1 + 1 + mn-1 = 2mn-1 + 1. (WATANABE 2004, p. 133)
Após esta constatação, os alunos foram convidados a elaborar uma
tabela com os resultados, que ficou assim distribuída:
Tabela 1: Dados do Jogo Torre de Hanoi
Número de Discos (n) Número de Movimentos
(mn)
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
Depois da tabela pronta, foi solicitado que os alunos observassem a
seqüência formada com o número de movimentos: 1, 3, 7, 15, 31, ... E que
analisassem se existia alguma relação entre eles.
Passado algum tempo um dos alunos se manifestou dizendo que
havia achado a relação entre os valores. Segundo este aluno, o valor do
número seguinte é obtido com o dobro do anterior mais um. A partir desta
descoberta os alunos começaram a fazer contas na calculadora, tentando
descobrir o número de movimentos para 64 discos. Mas a certa altura as
calculadoras não tinham mais capacidade para comportar o número de
15
dígitos que se formavam.
Então foi perguntado aos alunos se não haveria uma outra forma de
descobrir a quantidade mínima de movimentos com qualquer número de
discos, sem saber o número anterior. Esperava-se que no estágio escolar
em que se encontram, eles procurassem estabelecer uma lei de
associação entre o número de discos e o número de movimentos.
Em sua intervenção Grando (1995) também solicitou que seus
alunos do 2o ano tentassem estabelecer uma lei de associação entre o
número de discos e o número de movimentos. Mas eles não conseguiram
identificar que os números somados representavam potências de base 2.
Os alunos realizaram várias tentativas, porém não conseguiram
chegar ao resultado esperado. Então, chamou-se a atenção deles para a
potenciação, assunto revisado recentemente, em que o dobro do número
anterior que eles haviam observado anteriormente, representava
potências de base 2. Utilizando as potências de base 2 ficou assim
definido o número de movimentos: 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32.
As potências de base 2 também foram utilizadas por Gonçalves
(2007) em sua atividade com os alunos, utilizando a Torre de Hanói.
Então foi pedido para que eles acrescentassem mais uma coluna na
tabela anterior e colocassem os valores.
Em seguida foi solicitado para que eles comparassem os números e
verificassem o que faltava para que os valores ficassem iguais. Então eles
chegaram à conclusão de que teriam que diminuir 1 para chegar ao
mesmo valor. Após esta constatação, a tabela ficou assim definida:
Tabela 2: Uso de Potências de Base 2
Número de No de Potências de
Discos (n) Movimentos Base 2
(mn)
1 1 21 – 1 = 1
2 3 22 – 1 = 3
3 7 23 – 1 = 7
4 15 24 – 1 = 15
5 31 25 – 1 = 31
16
Enfim, após uma discussão entre alunos e professor, definiu-se que
a lei de associação será mn = 2n – 1, para uma quantidade mínima de
movimentos com n discos. Através desta constatação foram respondidos
os questionamentos levantados anteriormente sobre a existência de uma
relação entre o número de discos e o número de movimentos, bem como
foi determinada a lei de associação (função) existente entre eles.
Mas aí surgiu um novo questionamento: esta solução é válida para
n = 1, 2, 3, 4, 5. Mas será verdadeira sempre?
Para responder a este questionamento os alunos fizeram uso de um
outro instrumento que é o Método da Indução Finita. A utilização deste
método é comprovada por Machado (1992, p. 45): “O número mínimo de
movimentos necessários para efetuar a transferência de uma pilha de n
discos é dado pela fórmula 2n – 1, o que também pode ser justificado pelo
Princípio da Indução Finita”.
Os alunos utilizaram o seguinte raciocínio para comprovar que a
solução é válida para qualquer número de discos:
Sendo S o conjunto dos números naturais n tais que, n discos são
movidos com 2n – 1 movimentos. O número 1 ε a S, pois para 1 disco
precisamos de 1 = 21 – 1 movimentos. Supondo que K ε S, isto é, K discos
são removidos com 2k – 1 movimentos, vamos provar que k + 1 ε S, isto é,
que m = 2k+1 – 1.
k+1
Para remover k + 1 discos passamos, inicialmente, k discos para o
bastão de trás com mk movimentos; em seguida, com 1 movimento, o (k
+1), o n-ésimo disco vai para o outro bastão da frente; com m k
movimentos, os k discos de trás passam para o bastão da frente. Isto é,
m = m k + 1 + m k.
k+1
mk +1 = 2k – 1+ 1 + 2k – 1 = 2.2k – 1 = 2k + 1 – 1.
Isto demonstra que k + 1 ε S .
O princípio da indução garante que n discos podem sempre ser
removido com 2n – 1 movimentos e, particularmente, m64 = 264 – 1.
(WATANABE, 2004, p.134).
Voltando a lenda da Torre de Hanói, os alunos concluíram que serão
17
necessários 264 – 1 movimentos para que os monges possam mudar todos
os discos.
Foi, então, proposto a eles o seguinte questionamento: supondo que
os monges gastem um segundo para mudar cada disco, quanto tempo
eles levarão para concluir a sua missão?
Com bastante entusiasmo os alunos passaram a fazer alguns
cálculos. Primeiramente calcularam quantos segundos tem um ano:
60x60x24x365 = 31 536 000 segundos.
Em seguida deduziram que o número 31 536 000 é menor que 225 .
Supondo que, exageradamente, os monges façam 225 movimentos por
ano, então o mundo deverá acabar em:
264 / 225 = 239 anos.
Segundo os cientistas, já se passaram até hoje 4 bilhões de anos
desde a criação do mundo, ou seja, 4. 109 anos. Portanto, segundo os
cálculos dos alunos, ainda faltam mais de 508 bilhões de anos para que os
monges terminem a sua tarefa e que o mundo acabe. (WATANABE, 2004,
p.135)
Assim, os alunos conseguiram resolver o problema inicialmente
proposto sobre quanto tempo os monges levariam para mudar os 64
discos. E ficaram surpresos com o resultado obtido.
Voltando ao estudo das funções, foi explicado aos alunos que este é
um tipo de função que é denominado de função exponencial, pois a
variável independente x encontra-se no expoente. Esta função tem a
característica de multiplicar seus valores muito rapidamente. Em seguida
elaboraram os gráficos, identificaram se a função era crescente ou
decrescente e determinaram o seu conjunto-imagem.
Na seqüência os alunos fizeram algumas atividades resolvendo
problemas que envolviam cálculos de juros compostos, depreciação de
veículos e crescimento populacional. Nesta atividade eles tiveram a
oportunidade de identificar qual era a lei de associação da função e
descobrir que se tratava de uma função exponencial, pois a variável x
encontra-se no expoente.
18
A implementação da proposta na escola da cidade foi realizada da
mesma forma que na escola do campo. Além de apresentar o jogo da
Torre de Hanói e solicitar que os alunos confeccionassem o próprio jogo,
também foi indicado a eles um endereço eletrônico para que eles
pudessem consultar e praticar o jogo:
<http://www.matematica.br/programas/hanoi/ihanoi4.html> .
Ao contrário da escola do campo, nesta escola os alunos não tiveram
interesse em confeccionar o jogo. Porém alguns comentaram que
acessaram o site para praticar o jogo no computador.
Então a partir da demonstração do jogo, os alunos montaram a
tabela com o número de discos e o número de movimentos. Em seguida
os alunos foram estimulados a descobrir a lei da associação da função
para poder determinar o número de movimentos com qualquer número de
discos. Assim como na escola do campo, os alunos tiveram dificuldades
em determinar qual a lei de associação que determina o número de
movimentos, em função do número de discos.
Novamente foram utilizadas as potências de base 2 para definir o
número de movimentos em função do número de discos. A partir daí foi
definida a lei de associação da função. Na seqüência também foi utilizada
a indução finita para justificar os resultados obtidos.
Voltando à lenda, os alunos também calcularam quanto tempo os
monges levarão para mudar os 64 discos e ficaram surpresos com o
resultado obtido.
Então foi retornado ao estudo das funções, onde foi explicado aos
alunos que este é um tipo de função que é denominada de função
exponencial, pois a variável independente x encontra-se no expoente.
Na seqüência os alunos fizeram algumas atividades resolvendo
problemas que envolviam cálculos de juros compostos, depreciação de
veículos e crescimento populacional. Aí eles tiveram a oportunidade de
identificar qual a lei de associação da função e descobrir que se tratava de
função exponencial pois a variável x encontra-se no expoente. Em seguida
elaboraram os gráficos, identificaram se era função crescente ou
decrescente e determinaram o seu conjunto-imagem.
O jogo consiste num tabuleiro com 3 a 5 pinos de madeira e um
conjunto de 6 discos de diâmetros diferentes, com uma perfuração no
centro. O desafio consiste em transferir os discos que devem estar,
inicialmente, em um dos pinos para qualquer um dos pinos livres. Vence o
jogo quem concluir o trabalho no menor número de movimentos possível,
movendo apenas um disco de cada vez e sem colocar um disco maior
sobre outro menor. (RÊGO, 2000).
O jogo da Torre de Hanói foi criado pelo matemático francês Edouard
Lucas, em 1883, e vendido como brinquedo.
Para criar o brinquedo, Lucas tomou como base uma antiga lenda
indiana. Segundo esta lenda, o centro do mundo encontra-se sob a cúpula
de um templo situado em Benares, na Índia. Sob a cúpula do templo havia
uma placa onde estavam fixados três pinos de diamantes. Num destes
pinos Brahma, ao criar o mundo, colocou sessenta e quatro discos de
tamanhos diferentes, um sobre o outro e em ordem decrescente, isto é, do
maior para o menor. Esta era a Torre de Brahma.
Junto a esta torre o criador colocou um grupo de monges cuja função
era mover os discos da haste original para as duas outras hastes,
trabalhando dia e noite. Mas para realizar esta tarefa eles deveriam
respeitar duas regras importantes: mover apenas um disco de cada vez;
nunca colocar um disco maior sobre outro menor.
Segundo esta lenda, antes que os monges consigam terminar esta
tarefa, o templo transformar-se-á em pó e então o mundo acabará, com o
estrondo de um grande trovão. (MACHADO 1992, p. 44).
Mas como poderemos relacionar o jogo da Torre de Hanói com o
9
estudo da função exponencial?
Alguns questionamentos podem ser levantados: Será que existe
alguma relação entre o número de discos e o número de jogadas? Será
que o número de jogadas está em função do número de discos? Como
poderemos concluir quanto tempo os monges levarão para mudar os 64
discos, segundo a lenda?
Antes de respondermos a todas estas questões vamos conhecer um
pouco mais sobre o conteúdo funções.
2.2 CONCEITO DE FUNÇÕES
As funções, como conteúdo da Matemática, tiveram vários conceitos
no decorrer dos tempos, mas nem sempre ligados à sala de aula. Na
Idade Média as noções de funções eram expressas de maneira geométrica
e mecânica prevalecendo, em cada caso concreto, as explicações e as
representações gráficas.
Na Idade Moderna, o aperfeiçoamento de instrumentos de medida
deu condições para que os matemáticos estudassem as funções utilizando
a experiência e a observação. Isto ajudou muito na evolução do conceito
de função. A partir daí iniciou-se o desenvolvimento do tratamento
quantitativo, das equações em x e y nas relações de dependência, das
noções de curva nos movimentos e fenômenos mecânicos, das taxas de
mudança de quantidade, das imagens geométricas e da linguagem
simbólica.
A partir do momento em que começou a acontecer uma
aproximação entre o conceito de função e a álgebra, esta teve uma maior
abrangência passando aos campos do cálculo diferencial e da análise
matemática, sendo fundamental para o desenvolvimento da teoria das
funções complexas.
O conteúdo funções marcou o início da modernização do ensino da
matemática. De 1880 a 1959 foi muito debatida a idéia de que o conceito
de função deveria fazer parte do currículo de matemática, pois poderia dar
mais dinamicidade ao seu ensino. (PARANÁ, 2006, pág. 38).
10
Atualmente as funções fazem parte de diversas áreas do
conhecimento e, através da resolução de problemas, auxiliam as pessoas
em suas atividades do cotidiano. Elas fazem parte também de outros
conteúdos específicos da Matemática. Segundo Longen (2004, pág. 70): “a
idéia de função é uma das mais importantes da Matemática, ocupando
lugar de destaque também em outras áreas do conhecimento”. Esta
afirmação se justifica pelo fato de que os fenômenos não acontecem de
forma isolada, mas estão interligados de modo que a ocorrência de um é
conseqüência do outro, isto é, um é função do outro.
Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y tal que o
conjunto de valores para x é determinado e a cada valor x está associado
um e somente um valor y.
Para definirmos o conceito de função utilizaremos Caraça (2005,
pág. 121): “sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de
números; diz-se que y é função de x e escreve-se y = f(x), se entre as
duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x y. A
x chama-se variável independente, a y variável dependente”.
Uma maneira de explicar melhor e facilitar o entendimento do
conceito de função é o uso de uma alegoria matemática, isto é, explicar a
função utilizando a metáfora da máquina. Segundo Grando (1995, pág.
126): “Assim, através da compreensão, pelo aluno, do funcionamento da
máquina, ele pode compreender o processo de transformação de x em
f(x), determinado por uma lei (função)”. A pesquisadora apresenta o
seguinte exemplo:
máquina: y = f(x) = x2 + 3
entra x Processo de Transformação sai y = f(x)
Elevar ao quadrado e somar 3
Outro aspecto importante no estudo das funções são os gráficos. Os
meios de comunicação, como jornais e revistas, utilizam – se muito dos
gráficos. Eles permitem às pessoas uma melhor visualização das
informações divulgadas, facilitando a interpretação dos resultados
11
apresentados. A importância dos gráficos no estudo das funções pode ser
justificada nas palavras a seguir: “O estudo das funções ganha relevância
na leitura e interpretação da linguagem gráfica que dá significado às
variáveis das grandezas envolvidas, e possibilita análise para prever
resultados”. (PARANÁ, 2006, pág. 38).
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem
muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na
Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química,
Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Também
são utilizadas na Matemática Financeira no estudo de taxas de juros e
aplicações financeiras.
O conceito de função exponencial, segundo Longen (2004, pág. 139)
é definido como sendo: “toda função f: R R tal que y = f(x) = a x em
que a é uma constante real e diferente de 1” . O que caracteriza uma
função exponencial é que a variável x está no expoente.
A função exponencial pode ser entendida como o inverso da função
logarítmica.
A seguir vamos ver alguns conceitos sobre indução finita que será
importante na comprovação de alguns resultados obtidos durante a
pesquisa.
2.3 A INDUÇÃO FINITA
Segundo Savioli (apud Gástev, apud Sominski 1996), indução
significa o raciocínio que vai do particular ao geral e desempenha papel
fundamental nas ciências experimentais. Apesar de o nome lembrar algo
empírico, a indução finita é considerada um método dedutivo.
Normalmente a indução finita é aplicada no estudo com números
naturais. Outra forma de apresentação da indução finita é através do
quinto axioma de Peano5 , como pode ser encontrado em Savioli (apud
Lima, 1999):
5 G. Penedo, Arithimetica Principia Nova Methodo Exposita, 1889.
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“Considerando X C N. Se 1 E X e se o sucessor de todo elemento de X
ainda pertence a X, então X = N.”
O Teorema da Indução Finita também pode ser visto em forma de
propriedades, considerando os números naturais: N= {0,1,2,3,...}. Pode
ser enunciado como:
“Considere P(n) uma afirmação relativa a n ε N. Suponha que:
a) P(1) é verdadeira;
b) Para todo n ε N, o fato de P(n) ser verdadeira implica que P(n+1) é
verdadeira, onde n+1 é o sucessor de n.
Assim, P(n) é verdadeira para todo n ε N”.
A seguir serão apresentados e analisados os resultados obtidos com
a implementação da proposta de intervenção na escola.
2.4 RELATÓRIO DA IMPLEMENTAÇÃO DA PROPOSTA NAS ESCOLAS
Esta implementação foi realizada em duas escolas públicas, sendo
uma na cidade e a outra no campo. O objetivo é fazer uma comparação
entre as duas escolas, analisando o interesse e a participação dos alunos
em cada uma delas e o grau de dificuldades encontradas na solução dos
problemas apresentados.
Para a implementação desta proposta foram utilizadas como
suporte as intervenções realizadas por Grando (1995), Gonçalves (2007)
e Watanabe (2004), cujos estudos se aproximam pelo tema e pela
natureza dos objetivos.
Inicialmente a experiência foi realizada numa escola do campo, onde
a maioria dos alunos são filhos de agricultores e moram nas comunidades
próximas à escola.
Após a leitura de um texto que tratava sobre a lenda da Torre de
Brahma e de como surgiu o jogo da Torre de Hanói, foi apresentado aos
alunos um modelo do jogo e explicado o seu funcionamento. Então foi
solicitado a eles que confeccionassem o próprio jogo em casa e
trouxessem para a escola na aula seguinte.
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No dia seguinte alguns alunos trouxeram o jogo montado. Então a
turma foi dividida em vários grupos para que os alunos pudessem ter
contato com o jogo. Em seguida foram explicadas as regras do jogo, ou
seja, de que forma deveriam ser mudados os discos de um dos pinos para
os outros dois pinos livres. Para isto deveriam obedecer as seguintes
regras: utilizar somente um disco de cada vez; nunca colocar um disco
maior sobre outro menor. Então cada grupo se organizou e iniciou o jogo.
Inicialmente os alunos passaram a mudar os discos aleatoriamente,
sem se preocuparem com a quantidade de movimentos.
Situação semelhante ocorreu na experiência realizada por Grando
(1995) em uma turma de 2a série de uma escola pública. A autora
comenta que na aplicação do jogo em sua turma, no início os alunos
também mudavam os discos aleatoriamente, sem se preocuparem com a
quantidade de movimentos realizados.
Esta etapa representa a fase de familiarização, na qual os alunos
passam a conhecer o jogo e dominar suas regras. É importante, portanto,
que o professor reserve um tempo da aula para que os alunos pratiquem o
jogo e despertem o interesse pelo mesmo.
Porém quando os alunos foram informados de que havia uma
quantidade mínima de movimentos para cada jogada, começaram a
analisar melhorar o jogo, criando estratégias para mudar os discos com
menor número de movimentos. Assim eles procuraram compreender o
jogo, não apenas pelas suas regras implícitas, mas também pelo seu
aspecto operatório, possibilitando uma reflexão sobre os movimentos
estabelecidos pelo jogo. Assim os alunos realizaram sem dificuldades a
movimentação com um, dois e três discos. Isto despertou o interesse pelo
jogo e eles até pediram para acrescentar mais discos.
Mas ao chegarem ao quarto e quinto discos as dificuldades foram
maiores, visto que aumentou consideravelmente o número de
movimentos. Seguindo uma lógica de movimentação, depois de várias
tentativas, conseguiram realizar a tarefa com êxito.
Gonçalves (2007) comenta, em sua experiência com a Torre de
Hanói, que seus alunos também tiveram dificuldades em realizar as
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jogadas, a partir do terceiro disco.
Para realizar a mudança dos cinco discos, os alunos tiveram que
fazer os seguintes movimentos: com 1 disco m1 = 1 movimento; com 2
discos m2 = 3 movimentos; com 3 discos m3 = 7 movimentos; com 4
discos m4 = 15 movimentos; com 5 discos m5 = 31 movimentos.
Com estes movimentos os alunos puderam ter a idéia de como
deslocar n discos, com o menor número de movimentos possíveis.
Primeiramente movem-se n – 1 discos para o bastão de trás com mn-1
movimentos; na seqüência move-se o n-ésimo disco para o bastão da
frente, com 1 movimento. E, finalmente, movem-se os n – 1 discos do
bastão de trás para a frente, com mn-1 movimentos. Assim deduz-se que:
Mn = mn-1 + 1 + mn-1 = 2mn-1 + 1. (WATANABE 2004, p. 133)
Após esta constatação, os alunos foram convidados a elaborar uma
tabela com os resultados, que ficou assim distribuída:
Tabela 1: Dados do Jogo Torre de Hanoi
Número de Discos (n) Número de Movimentos
(mn)
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
Depois da tabela pronta, foi solicitado que os alunos observassem a
seqüência formada com o número de movimentos: 1, 3, 7, 15, 31, ... E que
analisassem se existia alguma relação entre eles.
Passado algum tempo um dos alunos se manifestou dizendo que
havia achado a relação entre os valores. Segundo este aluno, o valor do
número seguinte é obtido com o dobro do anterior mais um. A partir desta
descoberta os alunos começaram a fazer contas na calculadora, tentando
descobrir o número de movimentos para 64 discos. Mas a certa altura as
calculadoras não tinham mais capacidade para comportar o número de
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dígitos que se formavam.
Então foi perguntado aos alunos se não haveria uma outra forma de
descobrir a quantidade mínima de movimentos com qualquer número de
discos, sem saber o número anterior. Esperava-se que no estágio escolar
em que se encontram, eles procurassem estabelecer uma lei de
associação entre o número de discos e o número de movimentos.
Em sua intervenção Grando (1995) também solicitou que seus
alunos do 2o ano tentassem estabelecer uma lei de associação entre o
número de discos e o número de movimentos. Mas eles não conseguiram
identificar que os números somados representavam potências de base 2.
Os alunos realizaram várias tentativas, porém não conseguiram
chegar ao resultado esperado. Então, chamou-se a atenção deles para a
potenciação, assunto revisado recentemente, em que o dobro do número
anterior que eles haviam observado anteriormente, representava
potências de base 2. Utilizando as potências de base 2 ficou assim
definido o número de movimentos: 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32.
As potências de base 2 também foram utilizadas por Gonçalves
(2007) em sua atividade com os alunos, utilizando a Torre de Hanói.
Então foi pedido para que eles acrescentassem mais uma coluna na
tabela anterior e colocassem os valores.
Em seguida foi solicitado para que eles comparassem os números e
verificassem o que faltava para que os valores ficassem iguais. Então eles
chegaram à conclusão de que teriam que diminuir 1 para chegar ao
mesmo valor. Após esta constatação, a tabela ficou assim definida:
Tabela 2: Uso de Potências de Base 2
Número de No de Potências de
Discos (n) Movimentos Base 2
(mn)
1 1 21 – 1 = 1
2 3 22 – 1 = 3
3 7 23 – 1 = 7
4 15 24 – 1 = 15
5 31 25 – 1 = 31
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Enfim, após uma discussão entre alunos e professor, definiu-se que
a lei de associação será mn = 2n – 1, para uma quantidade mínima de
movimentos com n discos. Através desta constatação foram respondidos
os questionamentos levantados anteriormente sobre a existência de uma
relação entre o número de discos e o número de movimentos, bem como
foi determinada a lei de associação (função) existente entre eles.
Mas aí surgiu um novo questionamento: esta solução é válida para
n = 1, 2, 3, 4, 5. Mas será verdadeira sempre?
Para responder a este questionamento os alunos fizeram uso de um
outro instrumento que é o Método da Indução Finita. A utilização deste
método é comprovada por Machado (1992, p. 45): “O número mínimo de
movimentos necessários para efetuar a transferência de uma pilha de n
discos é dado pela fórmula 2n – 1, o que também pode ser justificado pelo
Princípio da Indução Finita”.
Os alunos utilizaram o seguinte raciocínio para comprovar que a
solução é válida para qualquer número de discos:
Sendo S o conjunto dos números naturais n tais que, n discos são
movidos com 2n – 1 movimentos. O número 1 ε a S, pois para 1 disco
precisamos de 1 = 21 – 1 movimentos. Supondo que K ε S, isto é, K discos
são removidos com 2k – 1 movimentos, vamos provar que k + 1 ε S, isto é,
que m = 2k+1 – 1.
k+1
Para remover k + 1 discos passamos, inicialmente, k discos para o
bastão de trás com mk movimentos; em seguida, com 1 movimento, o (k
+1), o n-ésimo disco vai para o outro bastão da frente; com m k
movimentos, os k discos de trás passam para o bastão da frente. Isto é,
m = m k + 1 + m k.
k+1
mk +1 = 2k – 1+ 1 + 2k – 1 = 2.2k – 1 = 2k + 1 – 1.
Isto demonstra que k + 1 ε S .
O princípio da indução garante que n discos podem sempre ser
removido com 2n – 1 movimentos e, particularmente, m64 = 264 – 1.
(WATANABE, 2004, p.134).
Voltando a lenda da Torre de Hanói, os alunos concluíram que serão
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necessários 264 – 1 movimentos para que os monges possam mudar todos
os discos.
Foi, então, proposto a eles o seguinte questionamento: supondo que
os monges gastem um segundo para mudar cada disco, quanto tempo
eles levarão para concluir a sua missão?
Com bastante entusiasmo os alunos passaram a fazer alguns
cálculos. Primeiramente calcularam quantos segundos tem um ano:
60x60x24x365 = 31 536 000 segundos.
Em seguida deduziram que o número 31 536 000 é menor que 225 .
Supondo que, exageradamente, os monges façam 225 movimentos por
ano, então o mundo deverá acabar em:
264 / 225 = 239 anos.
Segundo os cientistas, já se passaram até hoje 4 bilhões de anos
desde a criação do mundo, ou seja, 4. 109 anos. Portanto, segundo os
cálculos dos alunos, ainda faltam mais de 508 bilhões de anos para que os
monges terminem a sua tarefa e que o mundo acabe. (WATANABE, 2004,
p.135)
Assim, os alunos conseguiram resolver o problema inicialmente
proposto sobre quanto tempo os monges levariam para mudar os 64
discos. E ficaram surpresos com o resultado obtido.
Voltando ao estudo das funções, foi explicado aos alunos que este é
um tipo de função que é denominado de função exponencial, pois a
variável independente x encontra-se no expoente. Esta função tem a
característica de multiplicar seus valores muito rapidamente. Em seguida
elaboraram os gráficos, identificaram se a função era crescente ou
decrescente e determinaram o seu conjunto-imagem.
Na seqüência os alunos fizeram algumas atividades resolvendo
problemas que envolviam cálculos de juros compostos, depreciação de
veículos e crescimento populacional. Nesta atividade eles tiveram a
oportunidade de identificar qual era a lei de associação da função e
descobrir que se tratava de uma função exponencial, pois a variável x
encontra-se no expoente.
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A implementação da proposta na escola da cidade foi realizada da
mesma forma que na escola do campo. Além de apresentar o jogo da
Torre de Hanói e solicitar que os alunos confeccionassem o próprio jogo,
também foi indicado a eles um endereço eletrônico para que eles
pudessem consultar e praticar o jogo:
<http://www.matematica.br/programas/hanoi/ihanoi4.html> .
Ao contrário da escola do campo, nesta escola os alunos não tiveram
interesse em confeccionar o jogo. Porém alguns comentaram que
acessaram o site para praticar o jogo no computador.
Então a partir da demonstração do jogo, os alunos montaram a
tabela com o número de discos e o número de movimentos. Em seguida
os alunos foram estimulados a descobrir a lei da associação da função
para poder determinar o número de movimentos com qualquer número de
discos. Assim como na escola do campo, os alunos tiveram dificuldades
em determinar qual a lei de associação que determina o número de
movimentos, em função do número de discos.
Novamente foram utilizadas as potências de base 2 para definir o
número de movimentos em função do número de discos. A partir daí foi
definida a lei de associação da função. Na seqüência também foi utilizada
a indução finita para justificar os resultados obtidos.
Voltando à lenda, os alunos também calcularam quanto tempo os
monges levarão para mudar os 64 discos e ficaram surpresos com o
resultado obtido.
Então foi retornado ao estudo das funções, onde foi explicado aos
alunos que este é um tipo de função que é denominada de função
exponencial, pois a variável independente x encontra-se no expoente.
Na seqüência os alunos fizeram algumas atividades resolvendo
problemas que envolviam cálculos de juros compostos, depreciação de
veículos e crescimento populacional. Aí eles tiveram a oportunidade de
identificar qual a lei de associação da função e descobrir que se tratava de
função exponencial pois a variável x encontra-se no expoente. Em seguida
elaboraram os gráficos, identificaram se era função crescente ou
decrescente e determinaram o seu conjunto-imagem.
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